Séminaire 2008-2009

******************************Le mardi à 15 heures
Salle de séminaire du département de Mathématiques
23 juin 2009 - Jean-Philippe Nicolas (Brest)       Peeling

Le peeling est un type de description de comportement asymptotique de champ le long de directions caractéristiques. En espace-temps plat, toutes les solutions d'équations hyperboliques linéaires classiques vérifient un peeling à tous les ordres.

Le peeling est également, de façon plus ou moins explicite, une conjecture proposée par Penrose en 1965 et que l'on peut formuler ainsi : "le comportement asymptotique des champs le long de caractéristiques partant à l'infini dans des espaces-temps asymptotiquement plats génériques est calqué sur ce comportement en espace-temps plat".
Ceci a dès le début été compris comme le fait que les données initiales assurant un peeling à tous les ordres (ou à un ordre donné) doivent être les mêmes dans le cas plat et le cas asymptotiquement plat. La controverse n'a jamais été résolue.

Je présenterai un travail récent en collaboration avec L. Mason et dans lequel nous donnons un début de réponses à ces questions.

2 juin 2009 - David Lannes (Ulm)

        Stabilisation des instabilités de Kelvin-Helmoltz par la gravité

On sait d'après les travaux de Lebeau et Wu entre autres que les équations décrivant l'interface entre deux fluides incompressibles et irrotationnels sont tout le temps mal posées sauf si le fluide du dessus est de densité nulle (il s'agit alors du problème des water-waves) ou si l'on prend en compte la tension de surface. Dans ce dernier cas, le temps d'existence est proportionnel à la valeur de la tension de surface et donc très petit. En particulier, il ne permet pas d'expliquer la persistance d'ondes comme les ondes internes qui se propagent sur des milliers de kilomètres dans la plupart des océans du globe.

Le but de cet exposé est de proposer un nouveau cadre d'analyse pour les études d'interfaces, bien adapté à ce type d'applications  physiques. En particulier, il permet une étude précise (et uniforme par rapports aux paramètres physiques tels que la profondeur) du rôle de la gravité. On verra que, conjuguée à la tension de surface, la gravité permet de repousser l'apparition des instabilités de Kelvin-Helmoltz vers une échelle de temps  conforme aux observations physiques.

12 mai 2009 - Stéphanie Salmon (Strasbourg)

       Conservation de la charge dans les codes PIC-EFs pour résoudre le système de Vlasov-Maxwell


On s'intéresse dans cet exposé au développement et à l'analyse de méthodes de simulation numérique de problèmes de physique des plasmas ou de faisceaux de particules chargées, à savoir le modèle de Vlasov-Maxwell. Une des applications est l'endommagement de matériels spatiaux soumis à des faisceaux de particules chargées présents dans l'espace.
Les plasmas et les faisceaux de particules chargées sont modélisés par une fonction statistique dite fonction de distribution qui représente la probabilité de présence de particules en un point de l'espace des phases. Cette fonction est alors solution de l'équation de Vlasov qui fait intervenir un champ électromagnétique créé par les particules chargées, lui-même solution des équations de Maxwell.  La résolution numérique de l'équation de Vlasov en elle-même est un défi, car elle possède la particularité d'être posée dans l'espace des phases, et donc en 3D posée dans R^6. Ensuite son couplage avec les équations de Maxwell oblige alors à privilégier certaines méthodes de résolution pour ces dernières. Nous allons nous consacrer ici à la méthode particulaire dite PIC (pour Particle In Cell) pour résoudre l'équation de Vlasov et à la résolution numérique des équations de Maxwell par la méthode des éléments finis conformes.

5 mai 2009 - Victor Tchoulaevski (Reims)

        Localisation d'Anderson pour les systèmes multiparticules : les premiers résultats

Il y a 50 ans, P. Anderson a publié un article où il a montré, avec des arguments "physiques", que les fonctions d'ondes d'un électron dans un milieu désordonné, dans l'approximation monoparticule, doivent être exponentiellement décroissantes ("localisées"). Le premier résultat mathématique justifiant cette théorie physique en dimension 1  a été obtenu en 1976 ("20 ans après"...)  par S. A. Molchanov, I. Ya. Goldsheid et L.A. Pastur. La généralisation au cas multi-dimensionnel a été obtenue par J.  Fröhlich et T. Spencer, F. Martinelli  et E. Scoppola "30 ans après".

Nous avons récemment ("50 ans après") obtenu les premiers résultats mathématiques sur la localisation d'Anderson pour  les systèmes plus réalistes, avec interaction entre particules.

Dans cet exposé, nous allons présenter les idées mathématiques qui permettent d'établir le phénomène de localisation d'Anderson pour les systèmes multiparticules.

(En collaboration avec A. Boutet de Monvel , P. Stollmann  et Y. Suhov).

14 avril 2009 - Journée Amiéno-Rémoise Analyse Appliquée et Modélisation
24 mars 2009 - Francis Nier (Rennes 1)

        Pseudospectre et applications,  un problème modèle

Je parlerai d'un problème modèle extrêmement simple issu de la mécanique des fluides qui consiste en une perturbation anti-adjointe (multipliée par un grand paramètre) d'un oscillateur harmonique en dimension 1. L'évaluation quantitative des taux de retour à l'équilibre s'exprime soit en terme d'image numérique, soit en terme de spectre, soit en terme de pseudospectre suivant le type de contrôle des constantes souhaité par rapport au paramètre. Par ailleurs ce modèle simple permet d'étudier de façon très précise la comparaison entre les différentes notions et d'exhiber la compétition entre différents modèles microlocaux qui saturent les inégalités.

17 mars 2009 - Eric Dumas (Grenoble 1)

       Optique géométrique faiblement non-linéaire et instabilités pour l'équation de Schroedinger non-linéaire.


Je présenterai une justification rigoureuse de l'optique géométrique multiphase pour NLS cubique (interaction à quatre ondes), pour des  ondes planes (modulées) haute fréquence sur l'espace euclidien \R^d ou le tore \T^d.

Cela permet par exemple de retrouver et d'étendre (à la dimension d quelconque) les résultats d'instabilité pour cette équation obtenus en dimension 1 par Christ, Colliander et Tao et par Molinet.

C'est un travail en collaboration avec Remi Carles et Christof Sparber.

10 mars 2009 - Amor Kéziou (Reims)

        Dualité des intégrales des fonctionnelles convexes sur des espaces de mesures et applications

Nous donnons des représentations "duales'' pour les divergences sur des espaces de mesures munis d'une topologie appropriée. Ces représentations résolvent le problème d'absolue continuité en estimation statistique. De nouveaux estimateurs et tests statistiques sont introduits généralisant la méthode classique du maximum de vraisemblance.

17 février 2009 - Valentin Ovsienko (Lyon 1)

        Algèbres graduées commutatives

Il s'agit d'une nouvelle classe d'algèbres appelées "anti-algèbres de Lie". Ce sont des algèbres graduées commutatives étroitement liées aux super algèbres de Lie. On présentera des exemples et les propriétés les plus importantes de ces algèbres. Une partie de l'exposé sera en outre consacrée à l'algèbre des quaternions vue comme algèbre graduée commutative.

10 février 2009 - Annalisa Panati (Paris 11)

        Théorie spectrale et de la diffusion d'une classe de hamiltoniens de Théorie Quantique des Champs (en collaboration avec Christian Gérard)

Nous considérons une classe abstraite de hamiltoniens de théorie quantique des champs, et nous étudions leur propriétés spectrales et de diffusion. Un exemple est le modèle $P(\varphi)_{2}$  à coefficients variables avec troncature en espace.

3 février 2009 - Iraj Mortazavi (Bordeaux)

         Méthodes numériques pour le contrôle d'écoulements tourbillonnaires

Dans ce travail, les techniques performantes de calcul pour manipuler et contrôler des écoulements tourbillonnaires en présence des parois solides sont développées. Le contrôle consiste à modifier les propriétés de la couche limite et le processus de déclenchement des tourbillons de manière à minimiser les forces aérodynamiques ou à régulariser l'écoulement.

27 janvier 2009 - Walter van Suijlekom (Nijmegen - Pays-Bas)

        Renormalization of gauge theories using Hopf algebras

After a short introduction to the apparently obscure procedure of renormalization in physics, I will explain the use of Hopf algebras to describe it in a mathematically precise sense; this is work of Connes and Kreimer. Then, I will focus on so-called gauge theories which have a far richer structure, something that is reflected on the level of the Hopf algebra. I will describe the structure of the Hopf algebras in the case of quantum electrodynamics and if time permits also for Yang-Mills gauge theories.

20 janvier 2009 - Jacques Faraut (Paris 6)

        Analyse harmonique asymptotique

Il s’agit d’étudier le comportement asymptotique de certaines fonctions qui interviennent en analyse harmonique, comme les caractères ou les fonctions sphériques, lorsque la dimension tend vers l’infini. Nous considérerons le cas de l’espace euclidien Rn sur lequel agit un groupe K(n) de transformations orthogonales, le cas du groupe unitaire U(n), et celui du groupe de Heisenberg Hn = R × Cn.

9 décembre - Sami Mustapha (Paris 6)

        Marches aléatoires sur certains groupes p-adiques

On donne des estimations centrales et hors-diagonales du noyau de transition d'une marche aléatoire symétrique sur un  groupe $p$-adique moyennable ainsi que des applications à l'analyse sur le groupe.

2 décembre - Dorian Le Peutrec (Rennes)

        Constructions WKB locales pour des Laplaciens de Witten à bord

Des p-formes WKB sont construites comme solutions approchées de problèmes à bord associés aux Laplaciens de Witten semi-classiques. Les conditions au bord sont des conditions de Neumann ou de Dirichlet. 

25 novembre - André Unterberger (Reims)

        Une autre formule de composition en calcul de Weyl

On discute la signification, et un peu la preuve, d'une formule de composition en calcul de Weyl sans rapport avec la formule populaire dite de Moyal.
Son originalité est sans doute d'une part de ne rien apporter aux E.D.P. (mais sait-on jamais ?), d'autre part d'apporter beaucoup à l'analyse harmonique et un peu à la théorie des formes modulaires.

18 novembre - Salem Ben Said (Nancy)

        Equation d'onde et théorie des représentations 

Nous considérons dans Rn+1 le problème de Cauchy Dku(x,t)= utt(x,t), avec u(x,0)=f(x) et ut(x,0)=g(x).
Ici Dk désigne le laplacien de Dunkl. Dans le cas où le paramètre k=0 cet opérateur se réduit au laplacien usuel.
Nous allons démontrer qu'il existe deux distributions tempérées P et Q telles que la solution u(x,t) puisse s'écrire à l'aide de f convolée avec P et de g convolée avec Q.
Ensuite, nous allons utiliser la théorie des représentations du recouvrement universel du groupe SL(2,R) afin de démontrer les conditions nécessaires et suffisantes sur n et k pour que le support de P et Q soit contenu dans l'ensemble des (x,t) tels que ||x||=|t|. Lorsque k=0 ce phénomène est connu sous le nom du principe de Huygens.

21 octobre - Sandra Tancogne (Reims)

        Calcul numérique et stabilité d'écoulements diphasiques en Microfluidique 

La Microfluidique permet la manipulation et le transport de nanolitres de fluides dans des canaux de quelques dizaines de micromètres de section. Elle est de nos jours une discipline en plein essor aux champs d'application très variés. Ce travail présente la mise en place et l'exploitation d'outils de simulation adaptés aux petites échelles. L'attention est portée sur les écoulements bifluides non miscibles dans des microcanaux tridimensionnels aux formes variées. A cette échelle, les nombres de Reynolds considéres sont très petits et les effets interfaciaux prépondérants. Afin de simuler numériquement de tels écoulements, nous considérons pour la partie hydrodynamique l'équation de Stokes incompressible, munie de condition d'interface adaptée  et une équation de transport sur la viscosité. 
Les techniques numériques mises en oeuvre seront exposées. Les résultats numériques obtenus seront commentés et comparés aux résultats issus des expériences.

14 octobre - Karel Pravda-Starov (Imperial College London)

        Spectres et propriétés des semi-groupes des opérateurs différentiels quadratiques non elliptiques

Nous étudions les propriétés des opérateurs différentiels quadratiques non elliptiques qui sont les opérateurs non autoadjoints définis en quantification de Weyl par des symboles quadratiques à valeurs complexes. Lorsque la partie réelle de ces symboles est négative, nous montrons l'existence d'un sous-espace vectoriel particulier de l'espace des phases, intrinsèquement associe à ces symboles, et appelé espace singulier, tel que lorsque cet espace possède une structure symplectique, l'équation de la chaleur associée est régularisante dans toutes les directions de l'espace symplectiquement orthogonal à l'espace singulier. Lorsque le symbole de Weyl d'un tel opérateur est elliptique sur son espace singulier, cet espace a toujours une structure symplectique et nous démontrons que son spectre est discret et possède la même structure que celle connue dans le cas globalement elliptique. Enfin, nous décrivons également le comportement asymptotique des semi-groupes à contraction générés par ces opérateurs. 

30 septembre - Laurent Di Menza (Reims)

        Simulation de modèles aléatoires en optique non linéaire

On s'intéresse dans cette étude à la résolution numérique d'équations de Schrödinger non linéaires faisant intervenir des termes stochastiques, qui décrivent par exemple la présence d'inhomogénéités dans le milieu de propagation. Alors que des résultats théoriques existent pour le comportement de certains types de solutions déterministes (parmi lesquelles les solitons ou les solutions explosives en régimes critique et surcritique), de nombreuses questions restent ouvertes pour les modèles incluant des bruits blancs en espace-temps, caractérisés par une très grande irrégularité à n'importe quelle échelle d'observation. De plus, contrairement aux équations déterministes, les tests numériques doivent être effectués pour un grand nombre de réalisations du bruit afin d'obtenir des comportements vraiment significatifs des solutions. On s'intéressera en particulier à l'influence du terme aléatoire sur la dynamique explosive et sur la propagation de solitons.


23 septembre - Toshiyuki Kobayashi (University of Tokyo)

        Visible actions and multiplicity-free theorems 

The structure "multiplicity-freeness" (each building block is used no more than once) is sometimes hidden in classical mathematical methods such as the Taylor series and the Fourier transform.
On the other hand, multiplicity-free property is fairly rare in the general setting of representations.
Then, how to find such a structure systematically ?
In this talk, I discuss the original theory of "visible actions" on complex manifolds, and explain a trick that  multiplicity-free structure propagates from fibers to sections. Thus, we get the machinery that makes new out of old, and big out of small.
Systematic and synthetic applications of this idea to branching problems (the description of "breaking symmetries") are illusrated on both finite and infinite dimensional cases (possibly with continuous spectrum). 

Séminaire des années précédentes

Séminaire 2007-2008 
Séminaire 2006-2007
Séminaire 2005-2006