27 mars - Manon Didry (Nancy)        Une interprétation géométrique des représentations de système triple de Lie.
Comme pour une large classe d'objets, il existe une notion naturelle de représentation linéaire de système triple de Lie (suivant le concept de module dégagé par S. Eilenberg). On mettra en avant dans cet exposé la version intégrale de cette notion, appelée fibré symétrique. Un fibré symétrique est la donnée d'un fibré vectoriel sur un espace symétrique, muni d'une structure d'espace symétrique compatible avec celle de la base. Un premier exemple de fibré symétrique est donné par la structure naturelle d'espace symétrique existant sur le fibré tangent d'un espace symétrique. Cette structure est la version intégrale de la représentation régulière d'un système triple de Lie. Nous montrerons qu'il est généralement possible de munir le fibré tangent d'un espace symétrique d'une seconde structure de fibré symétrique, en tordant la représentation régulière. En particulier, dans le cas du groupe linéaire $GL(n,\R)$, la structure classique de fibré symétrique sur le fibré tangent est donnée par $\textrm{T} GL(n,\R)=GL(n,\R[\varepsilon])$, où $\R[\varepsilon]=\R\oplus\varepsilon\R,$ $ \varepsilon^{2}=0$, est l'extension de $\R$ par les nombres duaux, tandis que la structure tordue s'écrit $\textrm{T}GL(n,\R)=GL(n,\D)/GL(n,\R[\varepsilon])$, où $\D$ est une algèbre non commutative sur $\R$, version dégénérée des quaternions.