Séminaire 2006-2007

29 mai - Michaël Hitrik (U.C.L.A.)

        Lagrangian tori, phase space tunneling, and spectra for non-selfadjoint operators

We study semiclassical asymptotics of individual eigenvalues for non-selfadjoint perturbations of selfadjoint operators in dimension 2, under the assumption that the classical flow of the unperturbed part is completely integrable. Analyzing the spectral contributions of both Diophantine and rational flow invariant tori and studying the tunnel effect between them, we obtain a precise description of the spectrum in a suitable window in the complex spectral plane. This is joint work with Johannes Sjöstrand.

10 avril - Frédéric Hérau (Reims)

        Effet tunnel pour les opérateurs de type fokker-planck.

On étudie des opérateurs de type Fokker-Planck, modélisant des systèmes de particules liés à des bains de chaleur et subissant l'action de potentiels de rappel. Lorsque la température est basse, les méthodes de l'analyse semi-classique peuvent être utilisées, et donnent des renseignements très fins sur l'opérateur, bien que celui-ci ne soit ni elliptique ni autoadjoint. En particulier, au moins dans le cas d'un potentiel avec double puits, on peut évaluer la première valeur propre non nulle de l'opérateur, qui donne le taux de retour à l'équilibre du système, en utilisant la structure supersymétrique intrinsèque.

3 avril - Violeta Petkova (Toulouse)

        Multiplicateurs dans les espaces de Banach de fonctions sur un groupe localement compact 
        abélien.

On étudie les multiplicateurs (les opérateurs bornés qui commutent avec les translations) sur un espace de Banach de fonctions sur un groupe localement compact abélien G. Sous des hypothèses faibles sur l'espace de Banach  E nous obtenons pour tout multiplicateur un symbole essentiellement borné sur un ensemble de morphismes continus sur G, lié au spectre simultané des translations. Quand le groupe est R  notre résultat donne la possibilité de déterminer le spectre d'une translation. Dans le cas G=Z^k, on détermine le spectre simultané des translations et le même résultat est valable pour tout groupe discret. Dans le cas général  il y a des perspectives de trouver une méthode de détermination du spectre simultané des translations.

27 mars - Manon Didry (Nancy)        Une interprétation géométrique des représentations de système triple de Lie.

Comme pour une large classe d'objets, il existe une notion naturelle de représentation linéaire de système triple de Lie (suivant le concept de module dégagé par S. Eilenberg). On mettra en avant dans cet exposé la version intégrale de cette notion, appelée fibré symétrique. Un fibré symétrique est la donnée d'un fibré vectoriel sur un espace symétrique, muni d'une structure d'espace symétrique compatible avec celle de la base. Un premier exemple de fibré symétrique est donné par la structure naturelle d'espace symétrique existant sur le fibré tangent d'un espace symétrique. Cette structure est la version intégrale de la représentation régulière d'un système triple de Lie. Nous montrerons qu'il est généralement possible de munir le fibré tangent d'un espace symétrique d'une seconde structure de fibré symétrique, en tordant la représentation régulière. En particulier, dans le cas du groupe linéaire $GL(n,\R)$, la structure classique de fibré symétrique sur le fibré tangent est donnée par $\textrm{T} GL(n,\R)=GL(n,\R[\varepsilon])$, où $\R[\varepsilon]=\R\oplus\varepsilon\R,$ $ \varepsilon^{2}=0$, est l'extension de $\R$ par les nombres duaux, tandis que la structure tordue s'écrit $\textrm{T}GL(n,\R)=GL(n,\D)/GL(n,\R[\varepsilon])$, où $\D$ est une algèbre non commutative sur $\R$, version dégénérée des quaternions.

20 mars - Andrea D'Agnolo (Padoue)

         Equivalence de Morita pour les algébroïdes d'opérateurs microdifférentiels.

Le modèle local d’une variété de contact complexe X est un ouvert U du fibré cotangent projectif à une variété analytique complexe. L’algèbre des opérateurs microdifférentiels de Sato-Kawai-Kashiwara est une quantification de U, et il est tentant de recoller ces données locales en une algèbre de quantification de X. D’après Kashiwara, ceci est possible si l’on affaiblit la notion d’algèbre en celle d’algébroïde. Ce qui suffit pour obtenir un champ de modules microdifférentiels sur X. Après avoir rappelé cette construction, on classifiera les champs sur X localement équivalents au champ de modules microdifférentiels. (Les mêmes phénomènes arrivent lorsque l’on cherche une quantification par déformation d’une variété symplectique complexe, en prenant les opérateurs WKB comme modèle local.)

27 février - Nicolas Prudhon (Strasbourg)

        Hypoellipticité et induction cohomologique.

Soit G un groupe de Lie semi-simple. Une variété de drapeaux pour G est (entre autres choses) un espace homogène G/L muni d'une structure complexe G-invariante. H. W. Wong a montré que la cohomologie C^\infty du complexede Dolbeault était un espace de Fréchet sur lequel le groupe G agissait continuement. Dire que la représentation de G ainsi obtenue peut êtreunitarisée implique que cet espace de Fréchet possède un sous-espace G-stable portant une structure hilbertienne pour laquelle le groupe G agit par des opérateurs unitaires. La construction d'un tel sous-espace se heurte à la non-existence d'une métrique riemannienne G-invariante sur G/L lorsque L n'est pas compact, empêchant ainsi la construction d'un laplacien G-équivariant. Soit K un sous-groupe compact maximal de G. Nous introduisons alors un laplacien G-équivariant sur G/L\inter K. Ce laplacien est construit au moyen d'une distribution transverse aux fibres de la fibration G/L\inter K \to G/L. Après avoir remarqué que la distribution en question satisfait à la condition de Hörmander à l'ordre 2, nous étudions l'hypoéllipticité du laplacien. Nous montrons en particulier que cet opérateur différentiel n'est pas hypoélliptique dans le (seul) degré ou la cohomologie du complexe de Dolbeault est non-nulle, ainsi que dans le degré complémentaire.

20 février - André Unterberger (Reims)

        L'analyse pseudodifférentielle et son contraire, et la dualité des distributions automorphes.

Ce titre n'est pas une erreur. Il existe, en une dimension pour le moment, une analyse pseudodifférentielle dans laquelle tout est différent. Pour commencer, les développements tayloriens n'ont plus aucune signification, ne serait-ce que parce que les opérateurs différentiels n'ont pas droit de cité dans la théorie. En fait, il faut tout changer : les espaces de fonctions sur lesquels les opérateurs travaillent, les espaces de symboles, la règle de calcul symbolique, les représentations. Seuls restent la droite réelle et le plan R2 (sur lequel les symboles continuent à vivre) et la représentation d'Heisenberg. La motivation initiale était liée à la théorie des distributions modulaires, mais des développements importants sont attendus dans d'autres directions également.

23 janvier - Hideyuki Ishi (Yokohama University)        Continuous wavelet transforms on the Heisenberg group.

The theory of wavelet transforms is known to be reduced to study of square-integrable unitary representations of (not necessarily unimodular) locally compact groups.

Especially, the research is well developed for the case that the group is the semidirect product of a vector group $V$ with a linear group $H$ on $V$, where the Fourier transform on $V$ plays a substantial role.

Recently, we generalize the argument by replacing $V$ with a unimodular group $N$ of type I, which requires the non-commutative Fourier transform. In this talk, we demonstrate the results for the case that $N$ is the Heisenberg group.

16 janvier - Bruno Schapira (Orléans)

        Nouveaux résultats dans la theorie de Heckman-Opdam.

Dans une première partie, je présenterai les bases de la théorie de Heckman-Opdam, qui généralise la théorie radiale sur les espaces symétriques de type non compact. Pour développer l'analyse harmonique associée il est fondamental d'obtenir de bonnes estimations des fonctions hypergéométriques (l'équivalent des fonctions sphériques sur les espaces symétriques). Elles ont été obtenues essentiellement par Opdam en 95 puis par Delorme en 99. Nous présenterons une nouvelle preuve relativement élémentaire qui se base sur les nouveaux outils apportés par la théorie non radiale introduite assez récemment par Cherednik et Opdam.

12 décembre - Giuseppe Zampieri (Padoue)

        Relevés dans l'espace symplectique des disques analytiques.

Certains disques attachés aux variétés CR de C^n sont munis de relevés dans l'espace symplectique T*C^n : ce sont des disques défectifs (relevés holomorphes) ou stationnaires (relevés méromorphes). Ils jouent un rôle clé dans de nombreux aspects de la géométrie CR et en particulier dans la propagation de la régularité et dans l'extension holomorphe.

5 décembre - Michaël Pevzner (Reims)

        Crochets de Rankin-Cohen et quantification des espaces symétrique

Initialement introduits afin de produire de nouvelles formes modulaires, les crochets de Rankin-Cohen (CRC) jouent désormais un rôle important dans des différents domaines de mathématiques.
Dans cet exposé, nous discuterons les propriétés fondamentales des CRC et donnerons une nouvelle interprétation de cette famille d'opérateurs bi-différentiels dans le contexte de la quantification covariante des espaces symétriques causaux. La façon de concevoir cette structure en termes de représentations des groupes de transformations associés nous permettra de généraliser la notion des CRC à une large classe de groupes de Lie semi-simples.

28 novembre - Marc Dambrine (Compiègne)

        Applications conformes, précomposition sur H1/2(S1) et tomographie.

Nous considérons le problème de reconstruire la géométrie d'une inclusion à l'intérieur d'un matériau à l'aide de mesures frontières. Plutôt que de considérer une approche basée sur minimisation d'une fonctionnelle coût, nous montrerons comment ce problème se ramène dans certains cas à l'étude d'une équation intégro-différentielle non linéaire. Nous discuterons l'existence et l'unicité des solutions à cette équation ainsi que leur approximation numérique. Nous verrons comment des arguments de précomposition permettent d'étudier la stabilité de l'algorithme ainsi obtenu.

14 novembre - Yann Angeli (Strasbourg)

        Analyse sur les espaces symétriques ordonnés de type Makarevich.

On abordera plusieurs problèmes d'analyse sur une famille d'espaces symétriques (dits de Makarevich), qui se réalisent par le biais des algèbres de Jordan euclidiennes. Les outils d'analyse sur ces algèbres nous permettrons de discuter en particulier des singularités des fonctions sphériques et des équations de Volterra sur les espaces symétriques ordonnés.