Séminaire 2007-2008

Le mardi à 15 heures
Salle de séminaire de Mathématiques

17 juin 2008 - Martin Hairer (Univ. Warwick)

        Slow Energy Dissipation in Chains of Anharmonic Oscillators

We study the dynamic of a very simple mode of a chain of anharmonic oscillators with linear nearest-neighbour couplings. The first and the last oscillator furthermore interact with heat baths through friction and noise terms. If all oscillators in such a system are coupled to heat baths, it is known that under relatively weak coercivity assumptions, the system has a spectral gap (even discrete spectrum) and thus returns to equilibrium exponentially fast. It turns out that while it is still possible in certain cases to show the existence and uniqueness of an invariant measure for the general model, it returns to equilibrium much slower than one would at first expect. In particular, even in the simplest case of three oscillators, the spectrum of the system is no longer discrete when the potential of the oscillators is quartic and the spectral gap is destroyed when it grows even faster. Similarly, in a system of two oscillators with one of them set at "infinite temperature", we show that there exists a limiting value of the parameters beyond which the existence of a stationary state fails.

10 juin 2008 - Nikolay Tzvetkov (Lille)

        Construction d'une mesure de Gibbs associée à l'équation de Benjamin-Ono périodique 

Il s'agit d'une construction d'une mesure de Gibbs associée à l'équation de Benjamin-Ono périodique qui est une EDP Hamiltonienne faiblement dispersive. Cette mesure est absolument continue par rapport à une mesure Gaussienne supportée par les espaces de Sobolev à faible régularité. La preuve utilise des propriétés de contractivité pour le semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck et des arguments combinatoires.

29 avril 2008 - Laurent Di Menza (Orsay)

        Calcul de solitons pour quelques modèles intervenant en optique non linéaire

On présente ici des méthodes numériques pour le calcul d'une classe très particulière de solutions de modèles issues de l'optique diffractive non linéaire : les solitons qui possèdent la propriété de se propager dans le milieu sans changer de forme. Dans un premier temps, on se donne l'équation de Schrödinger non linéaire avec non-linéarité de type puissance pure et on montre que l'utilisation de la méthode de tir permet de calculer les états radiaux excités et de décrire une asymptotique précise en termes des divers paramètres (dimension, puissance, nombre de noeuds).

Par la suite, on s'intéressera à un modèle régissant la propagation d'ondes couplées dans des milieux quadratiques. Dans ce nouveau contexte, le couplage entre la méthode de tir et des algorithmes de continuation de paramètres permet de déterminer des solutions localisées excitées, aussi bien que des vortex non radiaux en dimension 2 d'espace.

22 avril 2008 - Abdeljalil Nachaoui (Nantes)

        Modélisation de l’écoulement des polymères  dans les filières d’extrusions et prévision du phénomène de gonflement de ces polymères à la sortie de ces filières 

L'extrusion est un des procédés industriels de mise en forme de matériaux polymères. Ce processus est particulièrement utile quand des moyens thermiques et/ou mécaniques sont exigés pour obtenir un produit uniformément traité dans une opération continue comme les jets de films et les filières de fibres. Les polymères fondent en traversant la filière et gonflent à sa sortie.  Certains paramètres affectent le gonflement des polymères à l'extrusion, comme la géométrie de la filière, l'environnement thermique et les propriétés rhéologiques des polymères qui dépendent fortement de la température.

L'absence de dispositifs de mesure à l'entrée de la filière d'extrusion rend impossible la simulation directe des écoulements de polymère et le transfert thermique dans ces filières, (la description des conditions aux limites est incomplète). Ce constat est à l'origine du développement du  premier problème inverse considéré dans cet exposé. Ce problème inverse de transfert thermique de convection-conduction consiste en la reconstitution du champ de la température dans le polymère à partir de mesures indirectes  en périphérie du système. Une méthode de gradient conjuguée est développée pour calculer la solution numérique de ce problème inverse.  
Le problème du gonflement du polymère à la sortie de la filière qui est un problème inverse de frontière est ensuite étudié via sa transformation en problème d'optimisation de forme. La partie inconnue de la frontière est cherchée comme le minimum d'une fonctionnelle de coût, prenant en compte une des conditions sur cette frontière. L'existence d'une solution optimale est montrée dans une certaine classe de fonctions de Lipschitz. Une méthode de gradient est développée et la méthode de projection d'Uzawa est utilisée pour déformer les frontières. Seules les équations de Stokes sont considérées dans ce cas et elles sont approchées via la méthode des éléments finies.

1er avril 2008 à 16h30 – Alexander Turbiner (Mexico)

About the ground state of quartic oscillator

Quartic oscillator H = -d^2/dx^2 + ax^2 + x^4 is one of the basic problems of quantum mechanics. A simple function which approximates uniformly the lowest eigenfunction with relative accuracy < 10^{-6} for any real x at |a| <= 20 is presented. The lowest eigenvalue found variationally with this function as trial function provides about 10 significant digits for any a in [-20,20]. A possible connection to recent remarkable result by Eremenko-Gabrielov-Shapiro about complex zeroes of eigenfunctions is mentioned.

1er avril 2008 - Vidian Rousse (Berlin)

        Validité du propagateur de Herman-Kluk semiclassique et corrections d'ordre supérieur

On montrera que le propagateur unitaire associé à l'équation de Schrödinger semiclassique avec Hamiltonien de symbole sous-quadratique peut être approché par un OIF à phase complexe dont on précisera le symbole. Cette approximation est doublement uniforme : elle est valide en norme d'opérateur et jusqu'au temps d'Ehrenfest.

25 mars 2008 - Jérôme Le Rousseau (Marseille)

        Représentation de solutions de systèmes hyperboliques par produits d'opérateurs intégraux de Fourier et applications

On considère des équations hyperboliques sur R^n. L'opérateur solution est obtenu comme limite d'un produit infini d'opérateurs intégraux de Fourier donnés de manière explicite. La convergence est montrée dans les espaces de Sobolev ainsi qu'au niveau du front d'onde de la solution. Nous étendons aussi la méthode à des systèmes symétriques et symétrisables. Cette représentation peut-être utilisée en pratique en sismologie d'exploration. On montrera des résultats numériques d'imagerie sismique pour des données réelles.

18 mars 2008 - David Dos-Santos Feirrera (Paris 13)

        Problèmes inverses anisotropes et inégalités de Carleman

Dans un article fondateur de 1980, A. Calderon pose la question de savoir s'il est possible de déterminer la conductivité électrique d'un corps simplement en faisant des mesures à la périphérie. Cette question a donné lieu à des développements importants dans le domaine des problèmes inverses.

L'objectif de ce travail est de savoir dans quelle mesure il est possible de généraliser les techniques developpées depuis l'article de Calderon au cas de conductivités anisotropes. Ces techniques sont basées sur la construction de solutions de l'équation de Schrödinger par l'optique géométrique complexe. Elles sont centrées sur la notion de poids de Carleman limite.

11 mars 2008 - Jonas Koko (Clermont 1)

        Méthodes de décomposition de domaine pour des problèmes elliptiques non linéaires

Les méthodes de décomposition de domaine ont connu un développement fulgurant ces dernières décennies, en raison de leur implication évidente en Calcul Parallèle. Il s'agit de transformer, à partir d'une partition du domaine, un problème en sous-problèmes découplés qu'on peut résoudre en parallèle. Je présente des méthodes de décomposition de domaine basées sur la dualité pour des problèmes elliptiques non linéaires. Une inconnue auxiliaire est d'abord introduite pour obtenir la séparation du terme de diffusion du terme non linéaire. Après partition du domaine, le problème est reformulé comme un problème d'optimisation avec contraintes. Les contraintes représentent les conditions de continuité aux interfaces des sous-domaines et des inconnues auxiliaires. Une première méthode de type Uzawa/gradient conjugué est construite à partir du Lagrangien de ce problème d'optimisation. Cette méthode est performante mais n'est applicable que s'il n'y a pas de sous-domaines internes. Une deuxième méthode de type Uzawa/relaxation par blocs est construite à partir d'un Lagrangien augmenté pour régularisés les problèmes posés sur les sous-domaines internes. Après quelques aspects numériques et techniques (discrétisation, implémentation, parallélisation) je présente quelques expérimentations numériques sur un problème non linéaire de bassin sédimentaire et sur un problème de contact entre deux corps élastiques déformables.

26 février 2008 - Sylvain Golenia (Erlangen)

        Commutateurs positifs, Fermi golden rule et spectres d'opérateurs de Pauli-Fierz à temperature 0. L'approche par translation.

Nous faisons l'analyse spectrale d'un opérateur de Pauli-Fierz à temperature 0. Sous une hypothèse de Fermi golden rule, nous montrons l'absence de valeurs propres plongées aux seuils pour des petites valeurs de la constante de couplage. Nous montrons aussi un principe d'absorption limite à ce niveau d'énergie. Notre approche repose sur une technique de commutateurs positifs introduite par Skibsted et améliorée par Georgescu-Gerard-Moller. Nous complétons ainsi des résultats obtenus par Derezinski-Jaksic d'une part et par Bach-Froehlich-Segal-Soffer d'autre part.

12 février 2008 - Bent Ørsted (Aarhus)

        Zeta functions in spectral geometry

In natural geometric situations one finds partial differential operators with discrete spectrum; to this one may associate zeta functions with properties similar to those of the Riemann zeta function. In particular it is interesting to consider the value and the derivative at zero of such a function, where the derivative is related to the so-called functional determinant of the operator in question. In this talk we shall introduce these concepts and give examples from conformal differential geometry and string theory. The results will concern extremal properties of determinants viewed as functionals on the space of all Riemannian metrics on a compact manifold.

5 février 2008 - Victor Gayral (Reims)        Triplets spectraux et quantification par déformation

En physique des hautes énergies, il est de plus en plus évident qu'une description de l'espace-temps en terme de variété différentielle n'est plus appropriée si l'on souhaite inclure sa nature (irréfutablement) quantique. Le cadre de la géométrie différentielle noncommutative, introduit par Alain Connes, combine précisément mécanique quantique et gravitation. Un préalable impératif avant de `tester physiquement' ce cadre est de le `tester mathématiquement', en particulier en construisant des exemples non-triviaux.

Dans cet exposé, j'expliquerai comment construire des triplets spectraux (variétés riemanniennes noncommutatives) à partir d'algèbres topologiques provenant de la quantification (non-perturbative) d'espaces homogènes.

29 janvier 2008 - Zakaria Belhachmi (Metz)        Comment choisir les points d'interpolation en images

On considère le problème de la détermination du "meilleur" ensemble  de données  pour la reconstruction de parties perdues ou omises d'images par interpolation. L'interpolation consiste en la résolution d'une équation aux dérivées partielles (on se limitera à l'équation de Laplace). En formulant le problème du choix de l'ensemble de données comme un problème d'analyse géométrique de formes dans le cadre de la Gamma -convergence, on développe deux points de vues différents : On propose un modèle continue d'EDP et on en déduit une information ponctuelle sur la "pertinence" de chaque pixel par une asymptotique topologique. La deuxième approche, consiste à considérer un problème en dimension finie, basé sur la notion du pixel qui est un petit disque, et d'étudier la Gamma limite lorsque le "rayon" du pixel tend vers zéro. De cette manière, on obtient la distribution optimale des pixels pertinents pour l'interpolation. On présente différentes approches pour la résolution numérique du problème et des résultats de simulations qui sont en accord avec l'analyse théorique et qui montrent l'intérêt de la compression d'images basée sur des EDP.

Ce travail est fait en collaboration avec Dorin Bucur (LAMA, Université de Savoie), Bernhard Burgeth et Joachim Weickert (MIA, Université de Saarbrücken).

22 janvier 2008 - Jean Nourrigat (Reims)

        C-star dynamiques, Séries de Dyson et théorème d'Egorov   (Travail avec Laurent Amour)

Les groupes d'automorphismes sur une C-star algèbre associéee à un réseau sont l'objet d'études récentes. Ici, on montre comment un tel groupe s'obtient par un passage à la limite, quand le nombre de sites tend vers l'infini, à partir des propagateurs des systèmes à nombre finis de sites, quand ces derniers sont modélisés par l'équation de Schroedinger, avec un potentiel borné ou non. Dans un cas, on utilise les séries de Dyson, et dans l'autre une variante du théorème d'Egorov.

15 janvier 2008 - Marc Dambrine (U.T.C.)

        Une approche multi-échelle pour étudier l'influence des défauts de surface sur la rupture des structure

L'objectif du travail présenté est de calculer la charge maximale qu'une structure mécanique endommagée en surface peut supporter avant de rompre. Les défauts de surface engendrent des concentrations de contraintes qui peuvent générer la fracture.

 

Nous présentons une approche qui permet d'éviter d'utiliser un maillage fin de la structure. Elle est basée sur deux idées :

- la première sur laquelle nous nous concentrerons consiste à développer une analyse multi-échelle pour les solutions d'équations elliptiques linéaires dans des domaines singulièrement perturbés.

- la seconde est un modèle mécanique macroscopique d'endommagement.

 

Nous présenterons des tests numériques obtenus par ce couplage des deux enrichissements dans le cas académique de la traction simple.

Ce travail a été réalisé dans le cadre du projet ANR jeunes chercheurs Macadam en collaboration avec V. Bonnaillie-Noel et G. Vial (IRMAR) et D. Brancherie (laboratoire de mécanique de l'UTC).

18 décembre - PAS DE SEMINAIRE H.D.R. Frédéric Hérau à 14h30
11 décembre - Thierry Jecko (Rennes 1)

       Phénomène de résonance et singularités coulombienne

On étudie l'équation semi-classique de Schrödinger dépendante du temps lorsque le potentiel présente des singularités coulombiennes. Une question importante est de savoir quand les solutions qui s'échappent à l'infini s'échappent "lentement" (phénomène de résonance). On caractérise l'absence d'un tel phénomène en terme de mécanique classique. La difficulté principale et la nouveauté sont dues aux singularités coulombiennes, dont on contrôle l'influence par un procédé de désingularisation.

4 décembre - André Unterberger (Reims)

        Quantification et arithmétique 

Apparition et (malheureusement) disparition de la fonction zeta.

27 novembre - Dorian Le Peutrec (Rennes)

        Petites valeurs singulières d'une matrice extraite d'un complexe de Witte

Présentation d'un résultat d'algèbre linéaire utilisé de façon récurrente pour la détermination des valeurs propres exponentiellement petites de laplaciens de Witten.

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