Cônes tangents aux variétés de Schubert.
Séminaire SGQ
Isométries parfaites entre blocs de groupes de réflexions complexes.
Representations of semisimple Lie groups and Penrose transform.
The classical Penrose transform is generalized to an intertwining operator on Dolbeault cohomologies of complex homogeneous spaces X of (real) semisimple Lie groups. I plan to discuss a detailed analysis when X is an indefinite Grassmann manifold. To be more precise, we determine the image of the Penrose transform, from the Dolbeault cohomology group on the indefinite Grassmann manifold consisting of maximally positive k-planes in Cp,q (1 ≤ k ≤ min(p,q)) to the space of holomorphic functions over the bounded symmetric domain. Furthermore, we generalize twistor transforms, and prove that there is a duality between Dolbeault cohomology groups in two indefinite Grassmann manifolds, namely, that of positive k-planes and that of negative k-planes.
Sur une question de noethérianité.
Sue Sierra et Chelsea Walton ont montré que l'algèbre enveloppante de l'algèbre de Virasoro n'est pas noethérienne. Dans cet exposé nous ferons la démonstration complète de ce résultat, élémentaire et fondamental. Nous présenterons également des propriétés de finitude dûe à la non-commutativité, en fort contraste à la situation commutative.
Quasi-hereditary algebras and dense orbits for the adjoint action of biparabolics (seaweeds)..
The polynomiality of the Poisson center of a Lie algebra and Dixmier's fourth problem.
Let L be a finite dimensional Lie algebra over an algebraically closed field k of characteristic zero and let S(L) be its symmetric algebra, equipped with its natural Poisson structure. We collect necessary and also some sufficient conditions for the Poisson center of S(L) to be polynomial. This occurs for instance if L is quadratic of index 2 with [L, L] not equal to L, and also if L is nilpotent of index at most 2. The converse holds for filiform Lie algebras of type Ln, Qn, Rn and Wn.
Dixmier's problem, which is related to this, can be reduced to that of its canonical truncation. Moreover, Dixmier's statement holds for all Lie algebras of dimension at most 8. The nonsolvable ones among them possess a polynomial Poisson center and semi-center.
Algèbres de Clifford réelles et formes quadratiques sur F_2
Les deux vieux problèmes de classification bien connus:
- des formes quadratiques sur le corps de deux éléments (Dickson, 1900),
- des algèbres de Clifford réelles (Chevalley, 1954),
sont, en fait, équivalents...
Tranches pour les sous-algèbres paraboliques maximales d'une algèbre de Lie semi-simple.
Soit g une algèbre de Lie semi-simple, S(g) son algèbre symétrique et Y(g) le centre de Poisson de S(g). Il est bien connu que Y(g) est une algèbre polynomiale. Le Théorème des Tranches de Kostant dit que si {x, h, y} est un sl2-triplet principal dans g, alors restriction de fonctions donne un isomorphisme
Y(g)→R[y+gx],
où gx est le centralisateur de x dans g et R[y+gx] est l'algèbre des fonctions régulières sur y+gx.
Soit p la troncation canonique d'une sous-algèbre parabolique de g. Par un résultat de Fauquant-Millet et Joseph, Y(p) est polynomial dans le plupart de cas, par exemple quand g contient seulement des composantes de type A and C.
Je vais présenter un analogue du Théorème de Kostant pour Y(p). Le rôle du sl2-triplet est joué par une paire adaptée. Je vais donner un critère d'existence d'une paire adaptée en généralisant un résultat de Tauvel et Yu et construire des telles paires au cas où p est maximale. Finalement, je vais expliquer comment on peut utiliser une paire adaptée pour obtenir la polynomialité ou non-polynomialité de Y(p).
C'est un travail en commun avec F. Fauquant-Millet (arXiv:1511.03542).
Exposés communs avec le séminaire du laboratoire.
Changement de carquois pour l'algèbre KLR.
Les algèbres KLR sont introduites par Khovanov-Lauda et Rouquier pour catégorifier la partie positive d'un groupe quantique. Une algèbre KLR est associée à un carquois. Le but de mon exposé est d'expliquer des liens parmi les algèbres KLR associées aux carquois différents. C'est facile si on a une inclusion parmi les carquois. Mais il n'est pas clair a priori comment on peut relier les algèbres KLR associées aux carquois cycliques de tailles différentes. On peut démontrer le résultat suivant : l'algèbre KLR d'un n-cycle est isomorphe à un sous-quotient de l'algèbre KLR d'un (n+1)-cycle.
La démonstration de ce résultat est purement algébrique. Mais on peut trouver également une construction géométrique de ce résultat. Il est remarquable que cette construction prédise pas mal de généralisations du résultat initial. Cela montre comment la géométrie peut prédire des isomorphismes d'algèbres. On peut espérer que la même approche géométrique peut marcher pour étudier des autres algèbres qui ont des constructions géométriques (pas seulement les algèbres KLR).
Odd Laplacians: geometrical meaning of potential, and modular class
In the first talk we see that a second order self-adjoint operator can be uniquely defined by its principal symbol and potential if it acts on half-densities. A potential is a compensating field (gauge field) in the sense that it compensates the action of coordinate transformations on the second derivatives. A potential usually is derived from other geometrical constructions such as a volume form, an affine connection, or a Riemannian structure, etc. The story is different if this second order operator is an odd operator on a supermanifold. In this case potential becomes a primary object. Moreover second order odd operator may define an odd Poisson structure, and square of the operator defines a modular class of this odd Poisson structure. We consider example of supermanifold with non-degenerate odd Poisson (symplectic structure), with vanishing modular class. This is a base of Batalin-Vilkovisky formalism. Then we consider an example of an odd Poisson supermanifold with non-trivial modular class which is related with the Nijenhuis bracket. The talk is based on the joint paper with M. Peddie: arXiv: 1509.05686
What is asymptotic Theory of representations?
I will describe some typical problems about asymptotical behavior of representations of the classical groups and the connection of those problems with probability theory, combinatorics and random matrices.
Idéaux de Joseph et W-algèbres minimales.
Je considèrerai dans cet exposé un certain relèvement des idéaux de Joseph associés aux orbites nilpotentes minimales des algèbres de Lie simples au cadre des algèbres de Kac-Moody affines, et donnerai des applications aux W-algèbres affines. Il s'agit d'un travail en commun avec Tomoyuki Arakawa.
L’homologie persistante et la théorie de Morse discrète: Principes et applications.
Le calcul d’homologie et de l’homologie persistante est devenu une tâche importante en topologie algébrique et computationnelle avec des applications dans les domaines d’analyses topologiques des données, la vision artificielle ou numérique, les images médicales… Les données mesurées et les fonctions construites de ces données souffrent de bruit introduit lors de processus de mesure. Le rôle de la théorie de Morse discrète permet de faciliter le calcul d’homologie en réduisant la taille des complexes topologiques introduits et en éliminant les points critiques. D’autre part, pour étudier les différentes espaces et formes topologiques, on peut introduire des techniques qui combinent la géométrie et la topologie algébrique en basant sur des constructions des nouveaux complexes qui permettent la distinction entre des espaces topologiquement identiques mais ayant des caractéristiques géométriques différentes.
Singularités et Algèbres de Lie
Les singularités auxquelles je m’intéresse sont des singularités classifiées en termes des systèmes de racines. Dans mon exposé, après avoir introduit ces singularités, je expliquerai d'abord comment peut-on réaliser ces singularités dans les cas A,D et E. Ensuite, pour des singularités plus dégénérées, j'expliquerai l’état de l'art.
Homomorphic images of the enveloping algebra of the Witt algebra
The Witt algebra W is the infinite-dimensional Lie algebra of complexified vector fields on the circle. In 2013, its enveloping algebra U(W) was shown not to be noetherian, but the proof is technical. We present an elementary proof that U(W) is not noetherian by studying a family of maps from U(W) to the Jordan plane. This is joint work with Chelsea Walton.
8 septembre 2015 à 16h00 Hua-Lin Huang (Shandong University, Chine)
Algebra in Braided Gr-Categories and the Hurwitz Problem on Composition of Quadratic Forms
Quelques familles de groupes issus de la théorie de Lie de dimension infinie.
Un des domaines de la théorie de Lie de dimension infinie est la théorie de Kac-Moody. Le point de départ de cette théorie est le point d’arrivée des classifications de la théorie de Lie de dimension finie, sous une forme un peu relâchée. Plus précisément, les objets de la théorie de Kac-Moody sont définis par générateurs et relations, essentiellement à partir de matrices entières - appelées matrices de Cartan généralisées. Le résultat est une famille d’algèbres de Lie et de groupes, de dimension en générale infinie sur le corps de base. Les techniques de groupes algébriques deviennent inopérantes, mais certaines techniques restent valides : actions sur des immeubles, usage de mesure etc. On passera en revue les types de groupes nouveaux (discrets, profinis, localement compacts totalement discontinus) ainsi obtenus. L’intérêt d’utiliser cette machinerie algébrique sera justifié par les combinaisons nouvelles de propriétés parfois satisfaites par ces groupes (impliquant notamment : non linéarité, simplicité, rigidité etc.).
Quantification via contraction et hiérarchie d'EDPs associée: le cas des espaces hermitiens symétriques de type non compact de rang 1.
Déterminant gradué via le foncteur de Nekludova-Scheunert
Après avoir introduit le(s) déterminant(s) sur une algèbre gradué-commutative, dans cette deuxième partie d'exposé des éléments de preuve seront abordés plus en détail. Notamment, je décrirais l'approche catégorique qui repose sur un isomorphisme de catégories appelé foncteur de Nekludova-Scheunert. L'étude plus approfondie de ce foncteur, qui met en relation la catégorie des algèbres gradué-commutatives et celle des algèbres (super)commutatives, montre en particulier qu'il a été trop hâtivement considéré être obstruction à la pertinence d'une généralisation de la supergéométrie.
Algèbres et super-algèbres amassées.
Constructions immobilières en théorie des représentations.
Déformation des C*-algèbres pour les actions de corps locaux.
Realization of homogeneous convex cones through oriented graphs.
In this talk, I realize any homogeneous convex cone by assembling uniquely determined subcones. These subcones are realized in the cones of positive-definite real symmetric matrices of minimal possible sizes. The subcones are found through the oriented graphs associated with the given homogeneous cones. Several interesting examples of our realizations of homogeneous convex cones will be also presented. This is a joint work with Takashi Yamasaki (Kyushu University).
Opérateurs de brisure de symétrie.
De la quantification équivariante aux groupes quantiques localement compacts en passant par les déformations de C*-algèbres.
Algèbres de Hecke affnes.
Théorie de Kazhdan-Lusztig.
Sur les éclatements des singularités kleiniennes- II
Sur les éclatements des singularités kleiniennes- I
Algèbres des réflexions symplectiques 4
Algèbres des réflexions symplectiques 3
Algèbres des réflexions symplectiques 2
Algèbres des réflexions symplectiques 1