Le mardi à 15 heures Salle de séminaire du département de Mathématiques
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21 février 2012 - Jean-Philippe Michel (Luxembourg)
Obtention de la représentation minimale de O(p + 1; q + 1) par une méthode de quantification
Nous supposons que p; q ≥ 1. La représentation minimale de O(p + 1; q + 1) est la représentation unitaire irréductible associée à son orbite nilpotente minimale O. Elle ne peut pas être obtenue par la méthode des orbites de Kirillov, O n’admettant pas de polarisation invariante. Cependant, on sait depuis A. Joseph qu’elle est unique (à isomorphisme près), car il existe un unique idéal dans U(O(p + 1;+q + 1)) de variété caractéristique O, il est appelé idéal de Joseph. Elle a été construite par B. Binegar et R. Zierau puis largement étudiée par T. Kobayashi et B. Orsted. Nous proposons ici une nouvelle méthode pour obtenir la représentation minimale de O(p + 1; q + 1), basée sur la quantification conformément équivariante (QCE). Nous décrivons l’orbite minimale nilpotente O comme une réduction symplectique de T*(S^p x S^q) par le flot géodésique conforme, et montrons, via la QCE, que la réduction correspondante dans l’espace des opérateurs différentiels sur S^p x S^q conduit aux Higher Symmetries of Laplacian étudiées par M. Eastwood. Ces dernières forment la représentation cherchée.
14 février 2012 - Yannick Voglaire (Reims et UCL)
Quantification, points-milieux et réduction symplectique pour les espaces symétriques symplectiques
Dans le cadre de son programme de quantification par groupoïdes, A. Weinstein a montré en 1994 de forts liens entre quantification et aires symplectiques de "doubles triangles". Il a ainsi conjecturé que pour les espaces hermitiens symétriques, la phase d'une intégrale oscillante décrivant le produit quantique au niveau des symboles devait être égale à l'aire d'un double triangle. À partir de 2001, P. Bieliavsky a donné, pour certains espaces symétriques symplectiques résolubles, des formules explicites de produits associatifs vérifiant cette conjecture et généralisant le produit de Moyal-Weyl. Je présenterai une réinterprétation de ses résultats permettant, en principe, de les étendre à tous les espaces symétriques symplectiques complètement résolubles. À cette fin, je présenterai une caractérisation des espaces symétriques exponentiels généralisant celle bien connue de groupes de Lie exponentiels, ainsi qu'une description des espaces pour lesquels chaque triangle admet un unique double triangle. J'introduirai finalement une notion de réduction symplectique adaptée aux espaces symétriques, analogue à celle développée par Dardié, Medina et Revoy pour les groupes de Lie symplectiques, et esquisserai ses implications en quantification.
7 février 2012 à 15h30 - Elias Ould Saïd (Université du Littoral)
Estimation non paramétrique robuste pour des données fonctionnelles
La régression robuste est une analyse de régression ayant la capacité d’être relativement insensible aux larges déviations dues à certaines observations aberrantes. Dans ce cadre, on se propose donc d’étudier l’estimation robuste de la fonction de régression, dans le cas où les observations sont de nature fonctionnelle. Dans un premier temps, nous considérons une suite d’observations indépendantes identiquement distribuées. Dans ce contexte, nous établissons la convergence presque sûre et la normalité asymptotique d’une famille d’estimateurs robuste de pondération basée sur la méthode du noyau. Dans un second temps, nous supposons que les observations sont dépendantes, et des résultats analogues seront établis. Pour illustrer l’extension et l’apport de notre travail, nous explicitons dans des exemples comment nos résultats peuvent être appliqués aux problèmes non standards de la statistique non-paramétrique tels que la prévision de série temporelles fonctionnelles. Nos méthodes sont appliquées à des données réelles telles que l’agro-alimentaire, l’astronomie et l’économie. Ces travaux ont donné lieu à trois publications dans des revues internationales.
7 février 2012 à 14h00 - Riccardo Adami (Milan)
Stability and instability for the ground states of the one-dimensional NLS with a strong defect
We consider the Schroedinger equation on the line with a focusing nonlinearity in the presence of a strong pointwise defect. We assume that the action of the defect can be summarized by a singular matching condition (the so-called "attractive delta prime"). For any value of the nonlinearity power and for any frequency beyond a natural threshold, we determine the stationary states of the system and the stability of the ground states. The main result concerns the existence of a bifurcation with symmetry breaking that emerges as the frequency reaches a certain critical value. Such a bifurcation takes place for any value of the nonlinearity power. This result has been obtained in collaboration with D. Noja (Milan).
31 janvier 2012 - Laurence Carassus (Université Paris 7)
Choix dans l'incertain
Nous rappellerons la problématique du choix dans l'incertain en économie et en particulier la théorie dite d'espérance d'utilité de Von Neumann et Morgenstern (1947). Cette représentation des préférences des agents a été intensivement étudiée et utilisée en économie et en finance. Nous expliquerons pourquoi elle a suscité un tel intérêt, mais également ces limites. En effet, il a été prouvé empiriquement que l'axiome dit d'indépendance sous-tendant la théorie de Von Neumann et Morgenstern était en contradiction avec les comportements des agents économiques (Allais (1953)). Nous présenterons alors la théorie des prospects cumulés due à Kahneman et Tversky (1979, 1992) qui propose de modéliser différemment le comportement face au risque. Le problème d'optimisation associé est bien plus compliqué mathématiquement que celui de l'espérance d'utilité. On perd la concavité de la fonction objectif et des distorsions s'appliquent aux probabilités : à la place d'espérance, des intégrales à la Choquet apparaissent et il n'est plus possible d'utiliser la programmation dynamique. Dans un contexte multi périodique et incomplet, nous proposons, pour la première fois dans la littérature, des conditions assurant le caractère bien posé ainsi que l'existence d'une solution au problème de choix dans l'incertain selon Kahneman et Tversky. Ce résultat est extrait de l'article «On Optimal Investment for a Behavioural Investor in Multiperiod Incomplete Market Models» co-écrit avec M. Rasonyi de l'université d’Edinbourg.
24 janvier 2012 - Claude-Alain Pillet (Toulon)
Production d'entropie et flèche du temps
Je discuterai des fluctuations de production d'entropie dans les systèmes quantiques ouverts hors équilibre. Je montrerai comment interpréter le théorème de fluctuation de Matsui-Tasaki en terme de statistique des flux de chaleur dans ces systèmes et formulerai un principe de grande déviation pour ces flux. Finalement, je dévoilerai la relation entre ce principe et le test de la flèche du temps. Ces résultats ont étés obtenus en collaboration avec V. Jaksic, Y. Ogata et R. Seiringer.
17 janvier 2012 - François Dumas et François Martin (Clermont-Ferrand)
Structures non-commutatives sur des espaces de formes modulaires de poids entiers
Le but de l'exposé est de présenter certains liens (mis en évidence dans des travaux de Cohen, Manin et Zagier de 1997) entre formes modulaires et invariants d'opérateurs pseudo-différentiels. Plus précisément, il est connu que, pour \Gamma un sous-groupe de SL(2,C), il existe une bijection entre l'espace M des suites de formes \Gamma-modulaires de poids pairs (gradué par le poids) à coefficients dans un anneau de fonctions d'une variable complexe R, et le sous-anneau F^\Gamma de l'anneau F des opérateurs pseudo-différentiels formels à coefficients dans R qui sont invariants sous l'action du prolongement canonique à F de l'action de \Gamma sur R. Cette bijection munit M d'une structure d'anneau non commutatif, que l'on prouve être isomorphe à celui des opérateurs pseudo-différentiels à coefficients dans l'anneau R^\Gamma des fonctions invariantes, ce qui lui confère certaines propriétés algébriques significatives (en particulier en termes de crochets de Rankin-Cohen). On étend l'ensemble de ce programme aux formes modulaires de poids quelconques via l'introduction d'algèbres d'opérateurs plus généraux que les pseudo différentiels. L'expose introduira toutes les notions nécessaires et ne suppose pas de connaissance préliminaire spécialisée ni en théorie des nombres, ni en théorie des invariants.
10 janvier 2012 - Agathe Guilloux (Univ. P. et M. Curie)
Modèles en grande dimension pour les processus de comptage avec covariables
Nous considérons des processus de comptage (ou ponctuels) dont l'intensité de saut dépend de covariables en (très) grande dimension. Il peut s'agir, par exemple, de données de survie de patients pour lesquels nous disposons de marqueurs génétiques pour une pathologie donnée. Nous proposons un estimateur LASSO, défini via une pénalisation l1 dictée par les données ("data-driven"). Pour cet estimateur, nous montrons une inégalité oracle, via une nouvelle inégalité de Bernstein "data-driven" pour des martingales.
Dans le plan euclidien, il est facile de déterminer les fonctions lisses invariantes par rotations ; en utilisant la transformée de Fourier cela conduit à une caractérisation des multiplicateurs du Laplacien. Des caractérisations similaires sont vraies pour n'importe quelle action d'un groupe compact sur un espace euclidien grâce au théorème de G. Schwarz.
Durant cet exposé je présenterai l'étude de cette question dans le cadre du groupe de Heisenberg sous l'action du groupe unitaire ainsi que plus généralement le cas des paires de Gelfand nilpotentes. Ceci est un travail en collaboration avec Fulvio Ricci et Oksana Yakimova
22 novembre 2011 - Estanislao Herscovich (Bielefeld)
Sur les représentations des algèbres de Yang-Mills
Les algèbres de Yang-Mills ont été introduites par A. Connes et M. Dubois-Violette en 2002 [CDV] en rapport avec la théorie des cordes en physique mathématique. Dans cet exposé nos parlerons de la théorie des représentations des algèbres de Yang-Mills.
Après avoir donné la définition et les propriétés générales de cette famille d'algèbres, nous allons exposer des résultats établis dans [HS], qui décrivent certaines représentations en termes d'opérateurs différentiels sur l'espace affine, c'est-à-dire en utilisant les algèbres de Weyl. Enfin, dans le cadre d'un travail en cours, nous présenterons quelques résultats récents relatifs aux représentations de dimension finie.
15 novembre 2011 - Karim Ramdani (Nancy)
Détection de petites inhomogénéités diélectriques par retournement temporel
La méthode DORT (acronyme de Diagonalisation de l'Opérateur de Retournement Temporel) est une méthode de détection expérimentale basée sur le retournement temporel des ondes. Plus précisément, étant donné un milieu de propagation contenant des cibles inconnues mais de petites taille, cette méthode permet :
1/ de relier le nombre de valeurs propres d'un certaine matrice (matrice de retournement temporel), obtenue à partir de mesures acoustiques, au nombre de cibles contenues dans le milieu de propagation ;
2/ de générer, grâce aux vecteurs propres associés, des ondes focalisant de manière sélective sur chacune des cibles.
Une première justification mathématique de cette méthode a été proposée par Hazard et Ramdani en 2004 pour les ondes acoustiques en régime harmonique (équation de Helmholtz) et pour des cibles non pénétrables.
En 2008, ce résultat a été généralisé par Ramdani et al. au cas des ondes électromagnétiques, toujours pour obstacles non pénétrables (conducteur parfait).
Dans cet exposé, nous nous intéresserons au cas des petites inhomogénéités diélectriques pénétrables (opérateur de type Helmholtz, à coefficients non constants). Nous montrerons que dans un certain régime asymptotique (petites inhomogénéités éloignées), chaque cible donne naissance à (au plus) $d+1$ valeurs propres (en dimension d) et que les vecteurs propres correspondants génèrent bien des ondes focalisant sélectivement sur chacune des inhomogénéités. Nous présenterons également des résultats numériques permettant d'affiner ces résultats en dimension 2.
8 novembre 2011 - Christophe Hazard (POEMS - ENSTA Paris)
Questions d'unicité liées à la propagation dans des guides d'ondes ouverts
Qu'arrive-t-il à une onde lumineuse guidée par une fibre optique lorsqu'elle rencontre un défaut dans la fibre ou une jonction avec une fibre différente ? Comment peut-on caractériser le caractère rayonnant de l'onde diffractée par le défaut ou la jonction ? En tenant compte de cette condition, les équations de propagation sont-elles bien posées ?
Je présenterai des travaux récents qui proposent quelques éléments de réponse à ces questions dans le cas simple de guides acoustiques bidimensionnels, en me focalisant sur la question de l'unicité de la solution.
25 octobre 2011 - François Dubois (Paris)
Une introduction aux schémas de Boltzmann sur réseau
Le schéma de Boltzmann sur réseau est issu d’une part des modèles classiques de la cinétique des gaz (équation de Boltzmann) et d’autre part des approches informatiques pour les systèmes dynamiques discrets (automates cellulaires). Il a émergé dans les laboratoires de physique au cours des années 1980. Sa mise en œuvre est a priori très élémentaire grâce à l’emploi d’un schéma explicite en temps sur une grille cartésienne. Mais toute une série de paramètres doivent être réglés avec soin afin de garantir le succès d’une simulation numérique. Ainsi, les schémas de Boltzmann sur réseau peuvent aujourd’hui simuler toutes sortes d’équations aux dérivées partielles classiques de la physique mathématique : advection-diffusion, acoustique, mécanique des fluides, etc. Nous donnerons une approche récente où l’emploi du calcul formel permet un début d’analyse mathématique et s’avère un moyen très utile pour améliorer les performances de l’approche numérique.
18 octobre 2011 - André Unterberger (Reims)
La théorie automorphe dans le plan
La théorie des (paires, au sens du scattering) de formes modulaires non-holomorphes dans le demi-plan hyperbolique, et celle des distributions automorphes dans le plan, sont équivalentes. Cela n’empêche pas que certains problèmes soient plus naturellement poses, voire résolus, dans un environnement que dans l'autre. On exposera deux questions, pour lesquelles l'avantage est aux distributions automorphes.
11 octobre 2011 - Andréa Mantile (Reims)
Dynamiques quantiques et conditions d'interface artificielles dans des modèles de transport
Le sujet concerne les propriétés dynamiques d'une famille d'opérateurs non-autoadjointes liés à la modélisation du transport en régime de puits quantiques dans une ile semi-classique.
4 octobre 2011 - Jean Nourrigat (Reims)
Limite semi-classique de l'équation de Hartree Fock dépendant du temps
Il s'agit d'un travail avec L. Amour et M. Khodja. On s'intéresse d'abord au symbole de Weyl d'une solution de l'équation de Hartree-Fock dépendant du temps. Puisque cette solution est un opérateur tracable, il est naturel, en s'appuyant sur les résultats de C. Rondeaux, de supposer que le symbole de Weyl de la donnée initiale est une fonction intégrable sur l'espace de phase, de même que toutes ses dérivées. On montre qu'il en est de même à tout instant. On donne un développement asymptotique du symbole de Weyl à l'instant t, le premier terme étant déterminé par l'équation de Vlasov, et le reste étant majoré dans sa norme L1. Avec des hypothèses plus faibles, ne rendant pas utilisable le calcul de Weyl, on s'intéresse ensuite à l'évolution du symbole de Wick.
21 juin 2011 - Nicolas Lerner (Paris VI)
Estimations de Carleman pour des opérateurs elliptiques discontinus sur une hypersurface
On étudie des opérateurs elliptiques présentant un saut sur une hypersurface lisse et l'on prouve pour ceux-ci une estimation de Carleman avec des poids dont les gradients présentent également une discontinuité.
La démonstration utilise des méthodes de factorisation pseudo-différentielle et une étude détaillée d'opérateurs singuliers du premier ordre. Il s'agit d'un travail en commun avec J. Le Rousseau (Orléans).
7 juin 2011 - Jérémy Blanc (Université de Bâle - Suisse)
Rationalité de surfaces de type A, D, E
Un sous-groupe fini G de SL(2,C) est soit cyclique (type A_n), soit diédral (type D_n), soit l'un des trois types exceptionnels (E6,E7,E8). La surface quotient de C^2 par le groupe G se voit naturellement dans C^3 via l'équation F(x,y,z)=0. Nous expliquerons comment démontrer le résultat suivant: l'extension C(x,y,z)/C(F) est rationnelle si et seulement si G est de type A_n. La preuve est de type géométrique, en étudiant des surfaces sur des corps non-algébriquement clos, qui sont géométriquement rationnelles mais pas rationnelles, et utilise la théorie de Mori.
31 mai 2011 - Sandro Vaienti (Centre de Physique Théorique - Marseille)
From rates of mixing to recurrence times
Over the last ten years, many results on statistical properties of dynamical systems have been obtained by proving the existence of geometrical structures satisfying certain analytic estimates and then applying some deep abstract results of Young linking statistical properties to these structures and estimates. In this talk we present a work done in collaboration with J. Alves, J. Freitas and S. Luzzatto, where we prove a partial converse of the results of Young by showing that in many situations the statistical properties themselves imply the existence of such geometrical structures and the corresponding analytic estimates. In particular such geometrical/analytic properties constitute necessary as well as sufficient conditions for certain stochastic-like properties of the dynamics.
15 mars 2011 - Jean-Philippe Anker (Orléans)
Les translations généralisées au sens de Dunkl sont-elles bornées en norme $L^p$ ?
Nous ferons le point sur la question de base qui fait l'objet du titre de cet exposé et pour laquelle on dispose de réponses partielles.
L'une d'elles fait appel au théorème de Paley-Wiener, que nous développerons.
5 avril 2011 - Emmanuel Humbert (Nancy)
Métriques à courbure scalaire positive
Un problème important en géométrie différentielle est de classifier les variétés compactes qui portent une métrique à courbure scalaire positive.
Le but de l'exposé est de montrer comment aborder par le biais des EDPs des questions connexes à ce problème.
8 mars 2011 - Fabrice Béthuel (Université P. et M. Curie)
Régimes asymptotiques et solutions spéciales pour l'équation de Gross-Pitaevskii
L'équation de Gross-Pitaevskii est utilisée dans divers modèles de la physique des basses températures : formellement, il s'agit d'une équation de Schrôdinger nonlinéaire focalisante, cependant son intérêt mathématique spécifique provient des conditions aux limites à l'infini, qui sont supposées non-triviales. Par ailleurs, elle fait apparaître une grande variété de régimes différents, dont certains présentent des analogies frappantes avec l'équation des ondes, la mécanique des fluides ou l'équation de Korteweg-de Vries.
8 mars 2011 - Hiroaki Kikuchi (Université d'Hokkaido) - à 10h30
Singular solution of semilinear elliptic equation with the Sobolev super-critical nonlinearity
8 février 2011 - Jean-Claude Saut (Paris Sud)
Singularités dispersives pour des équations de type Schrödinger
Dans cet exposé, issu d'un travail avec Jerry Bona, on démontre l'apparition de singularités dispersives ("dispersive blow-up") pour des équations de Schrödinger (éventuellement fractionnaires) et pour l'équation des water-waves linéarisée.
1er février 2011 - Loïc Foissy (Reims)
Systèmes d'équations de Dyson-Schwinger
En Théorie Quantique des Champs, les propagateurs satisfont certaines équations dans une algèbre de Hopf de diagrammes de Feynman. En utilisant une propriété universelle, on peut les relever en un système d'équations dans une algèbre d'arbres décorés.
Dans les cas usuels provenant de la physique, la sous-algèbre engendrée par la solution de ce système est de Hopf, mais ce n'est en général pas le cas.
Nous allons expliciter tous les systèmes d'équations de Dyson-Schwinger donnant une sous-algèbre de Hopf, ainsi que les algèbres de Lie associées à chacune de ces algèbres de Hopf.
25 janvier 2011 - Fouad Hadj Selem (Reims)
États stationnaires localisés pour l'équation de Schrödinger non linéaire avec un potentiel harmonique
Le but de cet exposé est de présenter des résultats théoriques et numériques récents concernant la structure et les propriétés des états stationnaires localisés de l'équation de Schrödinger non linéaire avec un potentiel quadratique. Il s'agit d'un modèle mathématique idéal pour la description d'un condensat de Bose-Einstein,correspondant à l'état particulier d'un gaz de bosons à très basse température et prédit par Albert Einstein dès 1924.
18 janvier 2011 - Michaël Pevzner (Reims)
Multiplicités des sous-espaces invariants de la représentation de Weil
La représentation de Weil du groupe SL(2,R) x O(p,q) est une source de symétries intéressante. Dans cet exposé nous montrerons que tout espace hilbertien invariant par cette action se décompose sans multiplicités.
11 janvier 2011 - Frédéric Hérau (Nantes)
Effet tunnel multi-puits pour l'opérateur de Fokker-Planck.
Dans cet exposé, on montrera comment des arguments de type symétrie PT permettent de conclure l'étude générale de l'effet tunnel pour l'opérateur de Fokker Planck basse température avec un potentiel confinant de type fonction de Morse.
C'est un travail en collaboration avec J. Sjostrand et M. Hitrik.
Dans le cadre d'une géométrie non-commutative des espaces de Cantor, Pearson et Bellissard ont récemment proposé une famille de triplets spectraux pour des espaces compacts ultra-métriques. Nous proposons une version modifiée de cette construction et l'appliquons au cas des pavages apériodiques. Ceci donne lieu à une caractérisation d'ordre apériodique qui se base sur les outils de la géométrie non-commutative.
30 novembre 2010 - Jean-Pierre Gazeau (Paris 7)
Quantification par états cohérents.
Les états cohérents (une expression issue de l’optique quantique) forment une famille de vecteurs unitaires d’un espace de Hilbert séparable H, indexée par les points d’un espace mesuré(X, μ), qui “résout” l’opérateur unité sur H. Une telle famille permet une quantification ou encore une lecture non-commutative de l’ensemble X de paramètres : à une fonction f(x) correspond formellement l’opérateur Af dans H. Je présenterai dans cet exposé une série d’exemples allant d’ensembles finis de paramètres à des objets plutôt exotiques, comme les algèbres dites paragrassmaniennes, en passant par le modèle familier du plan complexe muni de mesures diverses.
16 novembre 2010 - Daniel Gourdin (Paris 6)
Problème de Cauchy pour les systèmes hyperboliques à partie principale irrégulière
Dans cette conférence nous donnons une approche de l'étude du problème de Cauchy pour des systèmes hyperboliques diagonalisables d'équations (pseudo)différentielles à caractéristiques qui ne sont pas continues Lipschitziennes à la fois par rapport à la variable temps t (localement) et aux variables x réelles d'espace lorsque la norme de x tend vers l'infini.
Nous donnons des conditions optimales pour que le problème de Cauchy soit bien posé dans les espaces de Sobolev. On donne aussi des contre-exemples explicites lorsque ces conditions ne sont pas respectées.
Les détails sont dans un article écrit en collaboration avec Marco Cappiello (Université de Turin) et Todor V.Gramchev (Université de Cagliari), qui vient d'être proposé pour publication.
9 novembre 2010 - Walter Aschbacher (Polytechnique - Palaiseau)
A rigorous derivation of the Landauer-Büttiker formalism
The Landauer-Büttiker transport formalism for systems of independent electrons expresses the steady currents flowing through a small sample coupled to two extended reservoirs in terms of the one-electron scattering data of the sample.
Using Ruelle's scattering approach to the construction of nonequilibrium steady states in quantum statistical mechanics, we rigorously derive the Landauer-Büttiker formalism from first principles.
2 novembre 2010 - Victor Tchoulaevski (Reims)
Nouvelle approche à la localisation dynamique
Le phénomène de la décroissance exponentielle des fonctions propres des opérateurs aléatoires avait été découvert en 1958 par un physicien P. Anderson (cette découverte lui a valu un prix Nobel). La théorie mathématique de la localisation d'Anderson a été développée dans les années 1970-1980 ; l'une des principales méthodes (Analyse Multi-Echelle = Multi-Scale Analysis = MSA) remonte à 1983-1985. Elle a été adaptée à un grand nombre de modèles, mais elle reste assez complexe.
Dans l'exposé, on va décrire une nouvelle version de cette méthode, plus simple et plus efficace.
26 octobre 2010 - Juliette Venel (Valenciennes)
Modélisation des mouvements de foule
Nous proposons un modèle de mouvements de foule dans le cadre de situations d'évacuation d'urgence. Dans de telles circonstances, les personnes n'hésitent pas à se pousser et de fortes pressions s'exercent alors entre les individus. L'objectif du modèle proposé est de prendre en compte ces conflits en gérant directement les contacts entre les piétons. Après avoir précisé l'écriture du modèle et le cadre mathématique sous-jacent, nous présenterons un schéma numérique adapté et montrerons des simulations numériques d'évacuation de milliers de personnes.
19 octobre 2010 - Jean-Louis Clerc (Nancy)
Formes trilinéaires et opérateurs différentiels conformément covariants sur la sphère.
Le groupe G = SO0(1,n) opère conformément sur la sphère S = Sn−1, induisant une famille de représentations πλ sur l’espace C∞(S) indexée par un paramètre complexe λ (série principale sphérique). Pour trois valeurs λ1, λ2, λ3, on introduit, sous forme d’une intégrale triple formelle, une forme trilinéaire sur C∞(S) × C∞(S) × C∞(S) invariante sous πλ1 ⊗ πλ2 ⊗ πλ3 . On détermine le domaine de convergence de l’intégrale, puis on effectue le prolongement méromorphe dans C3 (comme distribution sur S × S × S). On montre (génériquement) l’unicité (à un facteur près) d’une telle forme trilinéaire invariante. On calcule les résidus correspondants, obtenant ainsi de nouvelles formes invariantes. Celles-ci sont liées à distributions singulières sur S × S × S, associées à des opérateurs différentiels sur S conformément covariants. En conclusion, on motivera l’étude des formes trilinéaires invariantes en analyse harmonique.
12 octobre 2010 - Stéphanie Salmon (Reims)
Quelques résultats d'écoulements sanguins cérébraux dans des géométries réelles
On s'intéresse à la simulation d'écoulements sanguins cérébraux dans des géométries reconstruites à partir d'images médicales. On insistera sur les difficultés rencontrées pour de telles simulations en géométries réelles et en particulier sur la construction d'un maillage adéquat à la simulation.
5 octobre 2010 - Toshiyuki Kobayashi (University of Tokyo)
Geometric Analysis on Minimal Representations
Minimal representations are the smallest infinite dimensional unitary representations. The Weil representation for the metaplectic group, which plays a prominent role in number theory, is a classic example. Our viewpoint of minimal representations is that they shoud have ''maximal symmetries'' on representation spaces. We then initiate a new line of investigations to use minimal representations as a guiding principle to find interactions with other fields of mathematics. Highlighting geometric analysis on minimal representations of generalized Lorentz group O(p,q), I plan to discuss conservative quantities of ultrahyperbolic equations, the generalization of the Fourier-Hankel transform on the L^2-model, and its deformation.
15 juin 2010 - Ivan Cherednik (Univ. of North Carolina at Chapel Hill & Fondation des Sciences Mathématiques de Paris)
DAHA in Algebraic Harmonic Analysis
The key object of the Algebraic Harmonic Analysis of the discriminant variety of a root systems and related objects is its Bernstein-Sato polynomial. I will begin with the approach to these polynomials via Gauss-type integrals essentially due to Opdam, which readily leads to their interpretation via rational DAHA and connects (at least conjecturally) the DAHA theory (and the related harmonic analysis) to the algebraic geometric theory of the related singular manifolds. It is the starting point of the q-vintage of these classical themes, which recently resulted in the new theory of q-hypergeometric functions (including the Harish-Chandra assymptotic expansions). The latter functions are actually much more algebraic than their classical counteparts, with direct links to the harmonic analysis on affine Hecke algebras and the p-adic theory. I will mainly discuss the A_1-case, practically from scratch.
1er juin 2010 - Pierre Clare (Münster)
C*-modules d'induction et opérateurs d'entrelacement pour les groupes de Lie semi-simples
Le dual unitaire (tempéré) d'un groupe de Lie est en général un espace topologique singulier. Le point de vue de la géométrie non-commutative consiste à remplacer les algèbres de fonctions sur cet espace par la C*-algèbre (réduite) du groupe. Dans le cas des groupes semi-simples, le dual réduit est décrit par la théorie d'Harish-Chandra et les opérateurs d'entrelacement de Knapp et Stein. Par ailleurs, l'induction des représentations s'exprime naturellement dans le cadre C*-algébrique par les bimodules de Rieffel. On généralise cette construction pour décrire globalement les représentations obtenues par induction parabolique, et l'on démontre un théorème d'irréductibilité générique dans ce cadre. Enfin, on construit des intégrales d'entrelacement analogues à celles de Knapp et Stein sans recourir à un argument méromorphe et l'on décrit, dans des cas particuliers, une procédure de normalisation. On indiquera pour terminer une application de l'analyse de la C*-algèbre réduite du groupe au calcul de la K-théorie et ses conséquences.
11 mai 2010 - André Unterberger (Reims)
Analyse pseudodifferentielle, formes modulaires, fonction zêta
On construit une nouvelle classe de fonctions automorphes, et on transforme plusieurs des grandes conjectures de la théorie des nombres en des problèmes d'apparence différente, tout aussi inatteignables.
20 avril 2010 - Adel Blouza (Rouen) - 15h00
Réduction et algorithmes pararéels en cinétiques chimiques
La simulation numérique des écoulements réactifs est difficile à réaliser. La principale difficulté est due à la prise en compte de mécanismes chimiques complexes décrits par des systèmes différentiels non linéaires, de grande taille et où les échelles de temps dans lesquelles évoluent les espèces sont très disparates. Nous présentons dans cet exposé une méthode de réduction algorithmique permettant d'approcher des systèmes cinétiques raides par des systèmes algébro-différentiels plus faciles à intégrer. Nous proposons aussi une version d'un algorithme pararéel efficace pour accélérer les calculs et préservant les invariants stoechiométriques du système. La pertinence de ces méthodes est d'abord testée sur le modèle de l'Ozone 16, modèle déterministe décrivant la production de l'Ozone. Ensuite sur un modèle stochastique décrivant l'évolution des protéines cdc2 et cyclin qui contrôlent le cycle de la division cellulaire.
20 avril 2010 - Pierre Bieliavsky (Louvain - Reims) - 14h00
Espaces symétriques amalgamés et groupes quantiques localement compacts
30 mars 2010 - Zied Ammari (Rennes 1)
Limite de champ moyen pour les bosons et propagation du chaos
On considère la limite de champ moyen pour un système quantique avec un grand nombre de particules N dont l'interaction entre paire de particules est un delta en dimension un d'espace. Nous montrons alors que pour ce système, l'évolution d'un état cohérent reste proche d'un état cohérent déformé par une transformation de Bogoliubov dépendante du temps quand N tend l'infini. La formulation de ce problème dans les espaces de Fock montre que la limite de champ moyen est un problème semiclassique. Ceci permet de retrouver des résultats analogues au travaux de Hepp et de Ginibre-Velo et aussi de montrer la propagation du chaos permettant ainsi une dérivation du l'équation de Schrödinger non-linéaire cubique en dimension un. Ceci est un travail en collaboration avec Sébastien Breteaux (IRMAR).
23 mars 2010 - Laurent Dumas (Jussieu)
Approche évolutionnaire pour la résolution de problèmes inverses, comparaison avec les méthodes déterministes
Deux exemples de problèmes inverses dans des domaines applicatifs seront abordés dans cet exposé. Le premier en médecine concerne la construction d'un modèle numérique d'écoulement artériel à partir d'un echotracking, l'autre en traitement d'images concerne la restauration d'une image de code barre floue et bruitée.
Pour ces deux problèmes, on montrera comment l'approche évolutionnaire basée sur l'évolution stochastique d'une population de solutions a permis d'améliorer les résultats obtenus par des méthodes déterministes de descente. Une étude sur l'amélioration de la vitesse de convergence de ces méthodes sera également proposée.
16 mars 2010 - Jacques Printems (Créteil)
Titre et résumé à venir
9 mars 2010 - Stéphanie Salmon (Strasbourg) - à 15h00
Simulation numérique en physique des plasmas
On s'intéresse dans cet exposé au développement et à l'analyse de méthodes de simulation numérique de problèmes de physique des plasmas ou de faisceaux de particules chargées, à savoir les modèles de Vlasov-Poisson ou Vlasov-Maxwell. Les plasmas et les faisceaux de particules chargées sont modélisés par une fonction statistique dite fonction de distribution qui représente la probabilité de présence des particules en un point de l'espace des phases. Cette fonction est alors solution de l'équation de Vlasov qui fait intervenir un champ électromagnétique créé par les particules chargées, lui-même solution des équations de Maxwell. La résolution numérique de l'équation de Vlasov est un défi car elle possède la particularité d'être posée dans l'espace des phases, et donc en 3D posée dans R^6. Ensuite son couplage avec les équations de Maxwell oblige alors à privilégier certaines méthodes de résolution pour ces dernières. Nous allons nous consacrer dans une première partie à une méthode de résolution directe de l'équation de Vlasov sur un maillage mobile de l'espace des phases. Ce qui permet de ne mailler que la partie de l'espace des phases sur laquelle la fonction de distribution des particules est a priori non nulle. Dans une deuxième partie, on s'intéresse au couplage d'une méthode particulaire dite PIC (pour Particle In Cell) pour résoudre l'équation de Vlasov et à la méthode des éléments finis conformes pour la résolution numérique des équations de Maxwell et au problème de conservation de la charge.
9 mars 2010 - Yoshinori Morimoto (Kyoto University) - à 14h00
Existence, regularity and uniqueness of solutions for non-cutoff Boltzmann equation
The Boltzmann equation without Grad’s angular cutoff assumption is believed to have the regularizing effect on the solutions because of the non-integrable angular singularity of the cross-section, such as the heat equation and Schroedinger equation. Even though this point has been recently justified satisfactorily for space homogeneous problems, a general and rigorous mathematical theory which applies to the spatially inhomogeneous case has been expected. Now, from the view point of Fourier microlocal analysis, the research in this direction is proceeded in a series of collaborative works by R.Alexandre, C.-J.Xu, S.Ukai, T.Yang and myself. In this talk, the main results of those works, containing the global existence theorem of classical solutions, are presented.
2 mars 2010 - Serge Dumont (Amiens)
Viscosité et ondes hydrodynamiques
L'objectif de cet exposé est de présenter divers modèles asymptotiques d'ondes hydrodynamiques se propageant dans un milieu visqueux. Ces modèles conduisent à des équations aux dérivées partielles avec termes non locaux, soit en temps, soit en espace. L'analyse numérique de ces équations sera discutée, ainsi que les effets de la viscosité sur la dissipation et la dispersion de ces ondes.
9 février 2010 - Jean Vaillant (Paris 6)
Conditions d'hyperbolicité des systèmes différentiels linéaires
On considère un système linéaire d'équations aux dérivées partielles du 1er ordre. Il résulte du théorème de Lax, Mizohata que, pour que le système soit hyperbolique (problème de Cauchy bien posé), il faut que le déterminant de sa partie principale ait toutes ses racines caractéristiques réelles. Nous supposons la multiplicité des caractéristiques constante. Nous avons défini précédemment (Japanese Journal of Math.) des conditions invariantes L sur le système.
La démonstration de la nécessité et de la suffisance de ces conditions L pour que le système soit hyperbolique a été faite jusqu'à la multiplicité 5 et dans des séries de cas particuliers. Nous montrons ici que pour que le système soit de diagonalisé bien décomposable, il faut que les conditions L soient vérifiées et, dans le cas des coeffcients constants la réciproque. Un système de diagonalisé bien décomposable se comporte comme un opérateur scalaire bien décomposable pour lequel la condition L est nécessaire et suffisante. Nous approchons ainsi le résultat cherché.
2 février 2010 - Serge Bouc (Amiens)
Variations sur les morphismes
Les objets mathématiques d'une structure donnée se présentent généralement à nous sous la forme de catégories : ils ont entre eux des relations exprimées par les morphismes. J'aimerais montrer par des exemples issus de domaines assez différents, que les morphismes qui semblent naturels ne sont pas toujours les seuls possibles, et qu'il peut être fructueux de les modifier parfois assez radicalement. A la fin de l'exposé, j'expliquerai un peu plus en détail comment ce point de vue a permis de résoudre au moins partiellement certains problèmes ouverts en théorie des groupes finis et de leurs représentations.
19 janvier 2010 - Virginie Bonnaillie-Noël (Rennes 1)
Domaines nodaux et partitions minimales
Dans cet exposé, on souhaite comprendre le lien entre les partitions en k sous-domaines et les partitions construites à partir des lignes de zéros du k-ième vecteur propre.
Pour les 2-partitions, on sait que le deuxième vecteur propre a deux ensembles nodaux et que la première valeur propre de l'opérateur de Laplace avec condition de Dirichlet est identique sur chacun des ensembles nodaux. Par contre, les choses se compliquent quand on s'intéresse aux 3-partitions : dans le cas du carré ou du disque, les vecteurs propres associés à la 3e valeur propre n'ont que deux ensembles nodaux et ne peuvent nous fournir de 3-partitions. Nous proposerons différentes méthodes numériques pour obtenir quelques candidats aux 3-partitions "minimales" du carré.
5 janvier 2010 - Victor Gayral (Reims)
Les Traces Singulières dans les Algèbres de von Neumann
Les traces de type Dixmier jouent un rôle important en géométrie noncommutative. Elles interviennent en particulier comme outil fondamental pour le calcul de co-cycles cycliques (caractères de Chern) en théorie de l'indice pour les triplets spectraux de type II. Dans cet exposé, en grande partie introductif, j'expliquerai notre contribution (avec A. Carey, A. Rennie et F. Sukochev) à la théorie des triplets spectraux localement compact de type II.
8 décembre 2009 - Thierry Raoux (Reims)
Résultats de théorie spectrale inverse pour l'opérateur de Schrödinger sur l'intervalle unité, avec donnée partielle du potentiel
On considère l'opérateur de Schrödinger sur [0,1] avec conditions au bord du type u'(0)+hu(0)=u'(1)+Hu(1)=0.
En 1978, Hochstadt et Lieberman établissaient que le potentiel, supposé connu sur le demi-intervalle (par exemple [1/2,1]), était déterminé sur [0,1] tout entier par la donnée du spectre associé à une valeur du couple (h,H). En 2000 Gesztesy et Simon montraient que pour déterminer le potentiel sur [0,1] on pouvait s'affranchir de la connaissance de la totalité d'un spectre, si le potentiel était connu sur un intervalle contenant strictement le demi-intervalle, ou si on le savait de classe C^k.
Les résultats présentés, obtenus avec L. Amour et J. Faupin par d'autres méthodes, donnent des résultats analogues lorsque le potentiel est supposé dans L^p ou W^{k,p}. Bien que les résultats obtenus ne soient pas toujours comparables entre eux, certaines conditions suffisantes pour déterminer le potentiel sont alors moins contraignantes que dans les travaux précédents.
1er décembre 2009 - Philippe Gravejat (Paris)
Analyse de la limite ondes longues de l'équation de Gross-Pitaevskii
L'équation de Gross-Pitaevskii est une équation de Schrödinger non linéaire qui modélise différents phénomènes physiques, en particulier, les condensats de Bose-Einstein en mécanique quantique, ou les solitons sombres en optique. L'objectif de cet exposé est de présenter plusieurs travaux récents (en collaboration avec Fabrice Béthuel, Jean-Claude Saut et Didier Smets) autour de la limite ondes longues de cette équation vers les équations de Korteweg-de Vries en dimension un, et de Kadomtsev-Petviashvili en dimension supérieure.
24 novembre 2009 - Jérémy Faupin (Bordeaux)
Analyse spectrale du modèle de l'électron habillé non relativiste
On considère un électron libre en interaction avec le champ électromagnétique quantifié dans le modèle standard de l'électrodynamique quantique non relativiste. Le système étant invariant par translation, on vérifie que le Hamiltonien de Pauli-Fierz associé admet une décomposition en intégrale directe par rapport à l'impulsion totale (impulsion de l'électron + impulsion des photons). On étudie alors le spectre du Hamiltonien réduit, c'est-à-dire le Hamiltonien obtenu en fixant l'impulsion totale. Après avoir rappelé des résultats concernant l'existence d'états fondamentaux dans ce contexte, on montrera comment obtenir un principe d'absorption limite dans un intervalle compact quelconque au dessus de l'énergie fondamentale. On en déduira,en particulier, que pour une impulsion totale fixée non nulle (et suffisamment petite), le spectre du Hamiltonien réduit est purement absolument continu. Cet exposé est basé sur un travail en collaboration avec V. Bach, T.Chen, J. Fröhlich et I.M. Sigal.
17 novembre 2009 - Ali Bentrad (Reims)
Problème de Cauchy pour une classe d'opérateurs du type de Trèves
Une représentation explicite de la solution pour une classe d'opérateurs doublement caractéristique en un point fait apparaître des singularités inattendues.
3 novembre 2009 - Jérémy Unterberger (Nancy)
De la théorie constructive des champs aux chemins rugueux Une approche physico-algébrique du calcul stochastique
Une série de travaux récents (T. Lyons, 1994 – Friz-Victoir, 2009 – Gubinelli, Lejay,...) a ouvert la voie à une méthode d’intégration des équations différentielles le long d’un chemin irrégulier x, reposant sur la construction de substituts algébriques des intégrales itérées de x appelés chemin rugueux, qu’on peut voir comme une famille de caractères de l’algèbre de Hopf de Connes-Kreimer possédant des propriétés de régularité Hölder. La construction de chemins rugueux se replace avantageusement dans le contexte général de la renormalisation des intégrales singulières, développée en particulier par Connes et Kreimer sous l’impulsion des travaux classiques de Bogolioubov, Zimmermann, ... sur la renormalisation en théorie quantique des champs. Nous présenterons dans un premier temps un algorithme général de construction de chemins rugueux utilisant le langage hopfien et reposant sur une mise en ordre normal de Fourier. Puis nous définirons une nouvelle théorie des champs – non locale – permettant de construire un chemin rugueux dans le cas particulier des trajectoires de processus gaussiens. L’application à la théorie des probabilités des méthodes de la théorie des champs passe par une simplification substantielle des arguments constructivistes classiques.
27 octobre 2009 - Lisette Jager (Reims)
Perturbation de l'équation de la chaleur pour l'oscillateur harmonique et intégrale de Wiener
Le but de l'exposé est de donner une solution explicite d'une perturbation du problème de la chaleur pour l'oscillateur harmonique, sous forme d'intégrale sur l'espace de Wiener C_W (qui est l'ensemble des fonctions continues sur [0,1], nulles en 0.)
Dans un premier temps, la solution est approchée par discrétisation. L'intervalle de temps [0,t] étant divisé en 2n intervalles, on résout le problème non perturbé sur les intervalles pairs (avec la formule de Mehler) et une équation ordinaire sur les autres.
L'expression ainsi obtenue peut s'écrire comme une intégrale sur C_W, dans laquelle il devient possible de faire tendre n vers l'infini. On montre enfin que la limite est bien la solution du problème étudié.
20 octobre 2009 - Anne Sophie Bonnet (Paris)
Simulation de l'interface entre un métamatériau et un diélectrique
En électromagnétisme, certains matériaux composites sont modélisés après homogénéisation et dans certaines plages de fréquences à l’aide d’une permittivité diélectrique réelle négative (epsilon < 0) et parfois même d’une perméabilité magnétique réelle négative (mu < 0). Ces métamatériaux, aussi appelés matériaux “de la main gauche” lorsque epsilon < 0 et mu < 0, suscitent à l'heure actuelle un engouement considérable à cause de leurs propriétés physiques tout à fait étonnantes. Nous nous intéressons ici à la résolution d'un problème d’électromagnétisme en régime fréquentiel, lorsque le milieu de propagation réunit de tels matériaux et des matériaux classiques. La difficulté résulte dans le fait que epsilon et/ou mu n’ont pas un signe constant dans tout le domaine. Nous montrons que, sous certaines conditions qui portent sur la géométrie et sur les valeurs des contrastes de coefficients, on peut établir le caractère bien posé du problème et la convergence des schémas éléments finis classiques.
13 octobre 2009 - Jean Nourrigat (Reims)
Evolution de densités marginales sur un réseau
Travail en collaboration avec Laurent Amour et Mohamed Khodja.
On étudie l'évolution d'un opérateur densité associé à un grand nombre de sites d'un réseau (équation de Heisenberg). On montre qu'une hypothèse d'indépendance des sites à l'instant initial entraîne une indépendance asymptotique en tout temps. On en déduit, pour la densité marginale associée à un site particulier, l'existence d'une limite lorsque le nombre de sites pris en compte dans l'évolution tend vers l'infini. Si les potentiels dépendent d'un petit paramètre lié à l'homogénéisation, on montre la validité d'une approximation de champ moyen (équation de Hartree-Fock) pour décrire l'évolution de ces densités marginales. Une limite semi-classique (de type Vlasov) est peut-être envisageable dans d'autres régimes.
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